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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\title{}
\date{rappel de cours pour le 16/10/2008}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\section{Le second principe}

Il stipule que le flux de chaleur se passe toujours du chaud vers le froid.

\section{L'entropie}
\subsection{Historique}
Le concept d'entropie s'inscrit dans la recherche de machines capables de fournir
un travail m\'ecanique depuis une source de chaleur (br\^uler du charbon par exemple).
D\'ebut XIX\ieme{}, Carnot conceptualise une machine qui fonctionnerait sur un cycle thermodynamique
de dilatations et contractions r\'eversibles d'un gaz suppos\'e parfait.

\begin{enumerate}
\item Dilatation isotherme(gaz contre source chaude, absorbe $q_c=n.R.T_c\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)=-w_c>0$)
\item Dilatation adiabatique (le gaz fournit $w_1=\Delta U= n.C_V.(T_f-T_c) < 0$)
\item Compression isotherme (gaz contre source froide, c\`ede $q_f=n.R.T_c\ln \left(\frac{V_D}{V_C}\right)=-w_f < 0$)
\item Compression adiabatique (le gaz subit $w_2=\Delta U=n.C_V.(T_c-T_f) > 0$)
\end{enumerate}

L'efficacit\'e d'une telle machine est $e=\dfrac{w_{tot\,fourni}}{q_{donne}}=\dfrac{q_c+q_f}{q_c}=\dfrac{T_c-T_f}{T_c}$,
(Annexe \ref{q_T})
Thomson (a.k.a. Lord Kelvin) prend comme r\'ef\'erence la temp\'erature $T_f$ telle que
l'efficacit\'e est maximale (=1) comme z\'ero. On peut r\'e\'ecrire cette \'equation comme
$\dfrac{q_c}{T_c}+\dfrac{q_f}{T_f}=0$ (Annexe \ref{S})

\subsection{D\'efinition}
Clausius, dans les ann\'ees 1850, d\'efinit une fonction d'\'etat (diff\'erentielle totale)
qu'il appelle \emph{entropie}, du grec \emph{donner une direction}, d\'efinit par $$S=\dfrac{Q_{rev}}{T}$$

\subsubsection{Propri\'et\'es}
En combinant avec le premier principe : $$dU=TdS-P_{ext}dV$$
ce qui permet de d\'efinir la temp\'erature par :$T=\left(\dfrac{\delta U}{\delta S}\right)_V$ et 
la pression par $P=-\left(\dfrac{\delta U}{\delta V}\right)_S$.

\paragraph{Pour un syst\`eme isol\'e}
Soit un syst\`eme isol\'e allant de l'\'etat A vers l'\'etat B d'une fa\c{c}on
irr\'eversible. Cyclons par un retour r\'eversible (!!! Attention, le syst\`eme n'est plus
n\'ecessairement isol\'e - en fait jamais dans la pratique... !!!).
Clausius a d\'emontr\'e que pour un cycle irr\'eversible, $\oint \dfrac{\delta q}{T} < 0$.
On en d\'eduit que $\int_A^B\dfrac{\delta q_{irr}}{T} +\Delta S(B\rightarrow A) < 0$. 
De A \`a B, le syst\`eme est isol\'e, donc pas de transfert de chaleur, donc adiabatique,
donc $\delta q_{irr} = 0$, d'o\`u $\Delta S(B\rightarrow A) < 0$, soit $\Delta S(A\rightarrow B) > 0$.
\begin{center}\fbox{\parbox{\textwidth}{Ce r\'esultat est toujours vrai, pour tout syst\`eme isol\'e, dans la pratique, il
signifie $\Delta S_{univers} > 0$, c'est une autre formulation du second principe}}\end{center}

\subsubsection{Interpr\'etation}

En thermodynamique statistique, on d\'emontre que $S=k\ln(\Omega)$, avec $\Omega$ le nombre de
configurations microscopiques d\'ecrites par le syst\`eme. On en d\'eduit que plus le
syst\'eme comporte de configurations microscopiques, plus son entropie est grande, c'est cette
histoire de d\'esordre. Il faut d\'efinir l'ordre d'un syst\`eme par le nombre de configurations
micros qu'il occupe, rien \`a voir avec l'ordre sur un bureau ou dans une chambre...

\appendix
\section{\label{q_T}$\dfrac{q_c+q_f}{q_c}=\dfrac{T_c-T_f}{T_c}$}
le cycle c'est $A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$ \par
Pendant la dilatation isotherme ($B\rightarrow C$): $\delta w_1=n.C_V.dT=-P.dV=-n.R.T\frac{dV}{V}$.
d'o\`u \\
\begin{align*}
C_V.\frac{dT}{T}=-R.\frac{dV}{V} & \Rightarrow C_V.\ln \left(\dfrac{T_f}{T_c}\right)= R.\ln\left( \dfrac{V_B}{V_C}\right) \\ 
                                 & \Rightarrow \ln\left( \dfrac{V_B}{V_C}\right) =\dfrac{C_V}{R}.\ln \left(\dfrac{T_f}{T_c}\right)
\end{align*}
Pendant la compression adiabatique ($D\rightarrow A$): $\delta w_2=n.C_V.dT=-P.dV=-n.R.T\frac{dV}{V}$.
d'o\`u \\
\begin{align*}
C_V.\frac{dT}{T}=-R.\frac{dV}{V} & \Rightarrow C_V.\ln \left(\dfrac{T_c}{T_f}\right)= R.\ln\left( \dfrac{V_D}{V_A}\right) \\ 
                                 & \Rightarrow \ln\left( \dfrac{V_D}{V_A}\right) =\dfrac{C_V}{R}.\ln \left(\dfrac{T_c}{T_f}\right) \\
                                 & \Rightarrow \dfrac{V_D}{V_A}=\dfrac{V_C}{V_B}\\
                                 & \Rightarrow \dfrac{V_B}{V_A}=\dfrac{V_C}{V_D}\\
\end{align*}

De tout \c{c}a on peut donc faire :
\begin{align*}
e=\dfrac{q_c+q_f}{q_c} & = \dfrac{n.R.T_c\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)+n.R.T_f\ln \left(\frac{V_D}{V_C}\right)}{n.R.T_c\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)}\\
                       & = \dfrac{T_c-T_f}{T_c}
\end{align*}

\section{\label{S}$\dfrac{q_c+q_f}{q_c}=\dfrac{T_c-T_f}{T_c}\Rightarrow \dfrac{q_c}{T_c}+\dfrac{q_f}{T_f}=0$}

\begin{align*}
\dfrac{q_c+q_f}{q_c}=\dfrac{T_c-T_f}{T_c} & \Rightarrow 1+\dfrac{q_f}{q_c}=1-\dfrac{T_f}{T_c} \\
                                          & \Rightarrow \dfrac{q_f}{T_f}=-\dfrac{q_c}{T_c} \\
                                          & \Rightarrow \dfrac{q_f}{T_f}+\dfrac{q_c}{T_c}=0 \\
\end{align*}
\end{document}
